Lineare Algebra Beispiele

$x + y = 2$ , $y - 2 z = 3$ , $x - 2 = 0$

Schritt 1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x + y = 2, y - 2 z = 3, x = 2$

Schritt 2

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & - 2 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & 2 \end{array}]$

Schritt 3

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Schritt 3.1.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & - 2 & 3 \\ 1 - 1 & 0 - 1 & 0 - 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Schritt 3.1.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & - 2 & 3 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Schritt 3.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & - 2 & 3 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 - 2 & 0 + 1 \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 0 & - 2 & 3 \end{array}]$

Schritt 3.3

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Schritt 3.3.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & - 2 & 3 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{3}{2} \end{array}]$

Schritt 3.4

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Schritt 3.4.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 + 2 \cdot 0 & 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 3 + 2 (- \frac{3}{2}) \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{3}{2} \end{array}]$

Schritt 3.4.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{3}{2} \end{array}]$

Schritt 3.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 3.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 2 - 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{3}{2} \end{array}]$

Schritt 3.5.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{3}{2} \end{array}]$

Schritt 4

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x = 2$

$y = 0$

$z = - \frac{3}{2}$

Schritt 5

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(2, 0, - \frac{3}{2})$

Schritt 6

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ - \frac{3}{2} \end{array}]$